Родился 25 февраля 1959 года в Свердловске. Свою семью Балабанов причислял к «номенклатуре». Отец — Октябрин Сергеевич (1930—2008), журналист, киносценарист, главный редактор научно-популярных фильмов Свердловской киностудии. Мать — Инга Александровна, доктор медицинских наук, профессор, директор Свердловского НИИ курортологии и физиотерапии. Имела польские, украинские и молдавские корни и часто ездила за границу. Была депутатом Свердловского горсовета и была хорошо знакома с семьёй Бориса Ельцина — в 1981 году вместе с Борисом Николаевичем ездила в Москву на XXVI съезд КПСС. Балабанов вспоминал, что в 8 классе вместе с отцом побывал на подмосковной даче Министра культуры РСФСР Юрия Мелентьева и был так впечатлён, что захотел жениться на его дочери. В 1966—1976 годах Алексей Октябринович учился в средней школе №2. Во время учёбы в школе каждое лето ездил к родственникам по материнской линии в Одессу и Измаил. В старших классах занимался английским языком с репетитором, который был завучем школы и вырос в Шанхае в семье русских эмигрантов. В 1981 году окончил переводческий факультет Горьковского педагогического института иностранных языков.
В 1980 году Балабанов был отобран в группу студентов для трёхмесячной языковой стажировки в Великобритании, и провёл один семестр в Манчестере. Для разрешения на поездку за рубеж молодые люди прошли 6 или 7 ступеней отбора, включая собеседование в ЦК. В Англию поехали две группы студентов: одна из Горького числом 7 человек, в которую входил и будущий режиссёр, вторая была из Минска. Минчан сопровождал сотрудник КГБ, который плохо владел английским; уже в Лондоне стало известно, что группа из Горького поедет в Манчестер без присмотра, а группа из Минска вместе с сотрудником спецслужб останется в Лондоне. Балабанов вспоминал, что английские преподаватели общались с учащимися на равных, приглашали к себе домой, поили чаем и вином. Советские студенты раз в неделю получали стипендию в размере 11 фунтов; Алексей Октябринович регулярно тратил полученные деньги на музыкальные пластинки — часть его коллекции можно увидеть в фильме «Жмурки». Перед возвращением в Советский Союз Балабанов с однокурсниками приехали на двухнедельные каникулы в Лондон. Там он впервые увидел скинхедов и подружился с рок-исполнителем Гари Глиттером, в чьей квартире пожил несколько дней.
В 1981 году был призван в звании лейтенанта в Советскую Армию (служил в 339-м военно-транспортном авиационном полку ВТА ВВС военно-транспортной авиации в должности борт-переводчика в Витебске), летал в страны Африки и Азии. Этот опыт нашёл отражение в картине «Груз 200». Воевал в Афганистане. Незадолго до окончания службы в 1983 году был переведён в Военно-морской флот. С тех пор его излюбленной одеждой была десантная тельняшка.